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Né à Pise en 1170
(probablement) et mort en 1250 (possiblement), L. Fibonacci était mieux connu à l'époque sous le
nom Leonardo Pisano (son 'vrai' nom: Léonard de Pise) ou encore Leonardo Bigollo (terme négatif signifiant
'errant-bon-à-rien'). Son nom 'moderne' nous vient de celui de son père, Guilielmo Bonacci (d'où
Fibonacci = 'fils de Bonacci') qui occupait dès la tendre enfance de Leonardo un poste diplomatique en Afrique
du Nord, où fut élevé le futur mathématicien, à Bejaia (Bougie, en Algérie, près
d'Alger).
Jusqu'à 1200, Fibonacci voyage supposément autour de la Méditerranée
acquérant ses connaissances mathématiques en Egypte, en Syrie, en Grèce, en Sicile, et en Provence (il
en fait mention dans Liber Abacci, en 1202).
Liber Abacci - les abaques sont les ancêtres des calculatrices
modernes, des cousins des bouliers chinois - fut le premier de plusieurs ouvrages traitant des mathématiques : Pratica
Geometriae (1220), Flos (1225), Liber quadratorum ( 1225), et Di Minor Guisa, dont il ne subsiste aucun manuscrit (il faut
se rappeler que tout cela se passe au moins deux siècles avant Gutenberg!).
Fibonacci est connu en particulier
pour la suite de nombres qui porte son nom (1,1,2,3,5,8,13,21,34,55... voir ci-dessous), mais il est bon de savoir que c'est
à lui qu'on doit l'introduction systématique du système décimal hindou-arabique en Europe
; toutefois, il fut célèbre à son époque pour des applications plus terre-à-terre que les
marchands pisans pouvaient apprécier durant l'exercice de leur commerce.
À partir des années
30 jusqu'à la fin de sa vie, on a peu d'informations sur Fibonacci ; un texte de 1240 fait état d'une
rente accordée par l'état de Pise, en remerciement de services rendus à la ville ; on ne sait rien
d'autre sur les dernières années de ce grand visionnaire.
La suite de Fibonacci.
F(n+2)=F(n+1)+F(n) est la définition officielle concernant la suite de Fibonacci, fournie par la Fibonacci Association
formée par des mathématiciens de plusieurs universités américaines, et qui publie entre autres
le Fibonacci Quarterly, un journal consacré entièrement à l'étude des nombres de Fibonacci
(voir le web : www.com/~stan/problemColumns/fq/fqinfo.html ).
Cette suite découle de la résolution
d'un des problèmes de Liber Abacci :
Si l'on place un couple de lapins dans un endroit fermé,
combien de lapins obtiendra-t-on après un certain temps si l'on suppose qu'ils se reproduisent une fois par
mois, et que les nouveau-nés peuvent se reproduire à l'âge d'un mois ?
On obtient
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55... après chaque mois, et on peut vérifier que la relation est bien satisfaite, par exemple
pour n=8, on a : 55=34+21.
Bien évidemment, la réalité des lapins ne correspond pas à
ce modèle ; cependant, si l'on avait des conditions parfaites, dans le cas par exemple de certaines bactéries,
on voit intuitivement que ce modèle pourrait s'appliquer.
En fait, la suite de Fibonacci, contient
bien plus que les 'proportions naturelles' que les artistes y voient traditionnellement : en effet, tout récemment,
Robert Devaney, éminent professeur de l'Université de Boston, a découvert l'apparition des nombres
de Fibonacci dans l'ensemble de Mandelbrot, à l'origine de la théorie des objets fractals et des dimensions
non entières, qu'on accepte de plus en plus comme des modèles adéquats de bien des comportements
chaotiques (plus précisément, dans l'ensemble de Madelbrot, le bulbe de période 5 se trouve entre
les bulbes de périodes 2 et 3 ; le bulbe de période 8 se trouve entre les bulbes de périodes 3 et 5,
etc.).
En arts et en musique, les nombres de Fibonacci sont plutôt liés aux proportions découlant
de la section d'or ; on peut les repérer dans les uvres de Michel -Ange, dans l'Art de la Fugue, dans le Regenlied
de Brahms, dans la plupart des uvres d'Alexandre Scriabine (par exemple dans la splendide Neuvième Sonate, pour
piano), et dans beaucoup d'autres uvres musicales et picturales, en particulier au vingtième siècle.
La section dorée (ou Proportion Divine, pour les poètes !)
Si l'on considère
un bâton, et qu'on le divise en deux parts inégales de sorte que la plus petite partie ait le même
rapport de proportions par rapport à la plus grande que celle-ci (la plus grande) par rapport au bâton au complet,
on se trouve à couper le bâton en sa section d'or. Si l'on donne la valeur arbitraire 1 à la longueur
de la plus grande part du découpage, le bâton mesurera 1,618... ce qui est appelé la moyenne dorée.
C'est ce type découpage qu'on retrouve, parfois consciemment utilisé, parfois non, dans
bien des uvres musicales des derniers siècles. Il existe plusieurs présentations de cette section célèbre,
dont la moyenne dorée, le triangle d'or, le rectangle d'or, et notre version personnelle, le gratin dauphinois
aux épinards et vinaigre balsamique d'or.
-Mais quel lien avec les nombres de Fibonacci ? enquerrez-vous.
Eh bien il s'avère comme par enchantement que si l'on divise chaque nombre de la suite de Fibonacci
par le précédent, on obtient après quelques itérations 1,618034..., précisément
le nombre d'or !
Vous pourrez constater cela avec les 200 premiers termes de cette suite (Maple) :
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 57, 46368,
75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169,
63245986, 102334155, 165580141, 267914296, 433494437, 701408733, 1134903170, 1836311903, 2971215073, 4807526976, 7778742049,
12586269025, 20365011074, 32951280099, 53316291173, 86267571272, 139583862445, 225851433717, 365435296162, 591286729879, 956722026041,
1548008755920, 2504730781961, 4052739537881, 6557470319842, 10610209857723, 17167680177565, 27777890035288, 44945570212853,
72723460248141, 117669030460994, 190392490709135, 308061521170129, 498454011879264, 806515533049393, 1304969544928657, 2111485077978050,
3416454622906707, 5527939700884757, 8944394323791464, 14472334024676221, 23416728348467685, 37889062373143906, 61305790721611591,
99194853094755497, 160500643816367088, 259695496911122585, 420196140727489673, 679891637638612258, 1100087778366101931, 1779979416004714189,
2880067194370816120, 4660046610375530309, 7540113804746346429, 12200160415121876738, 19740274219868223167, 31940434634990099905,
51680708854858323072, 83621143489848422977, 135301852344706746049, 218922995834555169026, 354224848179261915075, 573147844013817084101,
927372692193078999176, 1500520536206896083277, 2427893228399975082453, 3928413764606871165730, 6356306993006846248183, 10284720757613717413913,
16641027750620563662096, 26925748508234281076009, 43566776258854844738105, 70492524767089125814114, 114059301025943970552219,
184551825793033096366333, 298611126818977066918552, 483162952612010163284885, 781774079430987230203437, 1264937032042997393488322,
2046711111473984623691759, 3311648143516982017180081, 5358359254990966640871840, 8670007398507948658051921, 14028366653498915298923761,
22698374052006863956975682, 36726740705505779255899443, 59425114757512643212875125, 96151855463018422468774568, 155576970220531065681649693,
251728825683549488150424261, 407305795904080553832073954, 659034621587630041982498215, 1066340417491710595814572169, 1725375039079340637797070384,
2791715456571051233611642553, 4517090495650391871408712937, 7308805952221443105020355490, 11825896447871834976429068427, 19134702400093278081449423917,
30960598847965113057878492344, 50095301248058391139327916261, 81055900096023504197206408605, 131151201344081895336534324866,
212207101440105399533740733471, 343358302784187294870275058337, 555565404224292694404015791808, 898923707008479989274290850145,
1454489111232772683678306641953, 2353412818241252672952597492098, 3807901929474025356630904134051, 6161314747715278029583501626149,
9969216677189303386214405760200, 16130531424904581415797907386349, 26099748102093884802012313146549, 42230279526998466217810220532898,
68330027629092351019822533679447, 110560307156090817237632754212345, 178890334785183168257455287891792, 289450641941273985495088042104137,
468340976726457153752543329995929, 757791618667731139247631372100066, 1226132595394188293000174702095995, 1983924214061919432247806074196061,
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